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欧拉公式的证明

归档日期:05-27       文本归类:多面体裁剪      文章编辑:爱尚语录

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  尝欧拉公式:对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体),假 设F,E和V分别表示面,棱(或边),角(或顶)的个数,那么

  F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

  (2)去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1。

  (3)对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。每引进一条对角线,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

  (4)如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变。

  (5)如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF。这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变。

  (6)这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子。这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

  (7)因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样。

  (8)如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

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  从多面体去掉一面,通过把去掉的面的边互相拉远,把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性,可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是,点,边和面的个数保持不变,和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

  重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数(也是欧拉示性数)FE+V的额外变换。

  若有一个多边形面有3条边以上,我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。

  除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。

  (逐个)除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

  重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形F= 2 (把外部数在内),E= 3,V= 3。所以FE+V= 2。证毕。

  其中V,E和F分别是点,边和面的个数。 特别的有,对于所有和一个球面同胚的多面体,我们有:

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