我要投搞

标签云

收藏小站

爱尚经典语录、名言、句子、散文、日志、唯美图片

当前位置:香港六合彩挂牌 > 多面体裁剪 >

急求 多面体欧拉公式的发现?欧拉怎么发现公式的

归档日期:06-03       文本归类:多面体裁剪      文章编辑:爱尚语录

  V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

  如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。

  X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。

  经历了2000多年的思索与努力,“非欧几何”的产生的确是“数学中一步真正的进

  展”,把已有的理论——欧几里得几何学,从更高、更深的角度去理解,而把那些陈旧

  的思想——试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设的一切做法“抛到一边”。

  在中学数学课程中,还有一门叫“三角”。这门课程,主要讨论六个三角函数的相互关系及计算。人类对三角学的研究可以追溯到公元1~2世纪。当时的天文学研究,已经为三角学奠定了基础,例如已经有了类似于正弦及正弦的表等。经过了几百年的努力,到9~10世纪,三角函数的研究已系统化,到了13世纪,球面三角也基本完成。因此,现在中学学习的“三角学”,其内容基本上在千年前就形成了。

  人们从更高、更深的角度来认识“三角学”,是由于复数的引入。人们对复数的思

  考由来已久,例如对方程x2+1=0的根的思考,但人们认真地将虚数=i引入数学则是16世

  纪的事了。之后欧拉建立了著名的欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,使得三角学中的问题

  都可以化归为复数来讨论,于是三角学中一大批问题得以轻松地解决。有了复数与欧拉

  公式,使人们对三角学的已有理论的理解更为深刻,并可以把一些原始的、复杂的处理

  尝欧拉公式:对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体),假 设F,E和V分别表示面,棱(或边),角(或顶)的个数,那么

  F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

  (2)去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1。

  (3)对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。每引进一条对角线,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

  (4)如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变。

  (5)如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF。这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变。

  (6)这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子。这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

  (7)因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样。

  (8)如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

本文链接:http://bv-gs.net/duomianticaijian/568.html