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多面体欧拉定理的内容是什么怎么推导出来的?

归档日期:04-13       文本归类:多面体简化      文章编辑:爱尚语录

  (2)思想方法创新:定理发现证明过程中,观念上,假设它的表面是橡皮薄膜制成的,可随意拉伸;方法上将底面剪掉,化为平面图形(立体图→平面拉开图)。

  (3)引入拓扑学:从立体图到拉开图,各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化,而顶点数,面数,棱数等不变。

  定理引导我们进入一个新几何学领域:拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形,拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

  在欧拉公式中, f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们,简单多面体f (p)=2。

  除简单多面体外,还有非简单多面体。例如,将长方体挖去一个洞,连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面,而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0,即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

  去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1

  (1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。

  (2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。

  对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

  设多面体顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和Σα

  设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。

  设一个二维几何图形的顶点数为V,划分区域数为Ar,一笔画笔数为B,则有:

  问:足球表面由五边型和六边型的皮革拼成,计算一共有多少个这样的五边型和六边型?

  答:足球是多面体,满足欧拉公式F-E+V=2,其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数

  设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个,那么

  所以,黑皮子一共有12×5=60条棱,这60条棱都是与白皮子缝合在一起的

  对于白皮子来说:每块白色皮子的6条边中,有3条边与黑色皮子的边缝在一起,另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起,所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的

  在西方经济学里,产量和生产要素L、K的关系表述为Q=Q(L,K),如果具体的函数形式是一次齐次的,那么就有:Q=L(Q/L)+K(Q/K),换句话说,产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。

  因为Q/L=MPL=w/P被视为劳动对产量的贡献,Q/K=MPK=r/P被视为资本对产量的贡献,因此,此式被解释为“产品分配净尽定理”,也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理,所以称为欧拉定理。

  在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中。

  它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。

  这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:

  这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率∏,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它。

  V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

  如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀成一个球面),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。

  欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

  如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有

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