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帕乔利:数学、上帝与资本

归档日期:06-03       文本归类:多面体简化      文章编辑:爱尚语录

  编者按:意大利数学家卢卡·帕乔利,被视为会计学和企业管理的鼻祖,其《算术、几何、比与比例集成》乃现代会计制度开山之作。著名学者、数学史家刘钝先生,以德巴巴里《帕乔利肖像》这幅画作为切入点,为读者诸君讲述帕乔利的逸闻掌故及数学史上的瑰玮风景,并分析这幅画背后的三种位相:数学、上帝与资本(科学、宗教与社会)。

  最早见到德巴巴里《帕乔利肖像》(Portrait of Luca Pacioli)这幅画是在一本名为《数学简史》的小书中,作者是荷兰裔的美国数学史家斯特洛伊克(Dirk Jan Struik,1894—2000),时间是1970年初。整整三十年后,当我在波士顿见到这位已逾期颐的老人时,不禁向他袒露当年的心迹:对于一个生活在文化和自然双重荒漠中的知识青年,这本小书展现的人类智慧演进的绚丽图景是比那些手抄本更具吸引力的,正是它为我日后迈入科学史这一学术殿堂埋下了伏笔。遗憾的是,由于作者年事已高,我未能向他了解更多的细节,包括何以要把这幅不是那样出名的油画放进那本不足200页的小书之中。

  多年后我在另一本同样精彩且篇幅不算太大的书中再次看到这幅图画,那就是萨顿的《六翼:文艺复兴时代的科学人》。在对那个伟大时代的科学与艺术有了一点儿肤浅认识之后,今天我来尝试揭开画中蕴涵的历史、文化与科学信息。

  关于画家的生平,今人所知不多,他的全名应该是雅克布·德巴巴里(Jacopo de Barbari),生活年代在15世纪末至16世纪初之间,早年居住在意大利,1500年左右从威尼斯前往德国,先后为纽伦堡、萨克森和勃兰登堡的领主服务,德国大画家丢勒在一部关于人体比例的手稿中提到过他。德巴巴里留下的作品大概有十几幅,包括一些静物画和一幅威尼斯全景的版画,最有名的作品就是这幅《帕乔利肖像》了。

  画面中央身着方济各会修士袍的人是卢卡·帕乔利(Luca Pacioli,1445—1517),身边的年轻人是他的学生与赞助人之一、热爱科学和艺术的乌尔比诺公爵——蒙泰费尔特罗家族的盖多巴尔多(Guidobaldo da Montefeltro,1472—1508)。画中的帕乔利右手拿着一根细棒指向画板上的几何图形,画板的前缘可以辨认出“欧几里得”(EVCLIDES)的字样;他的左手平放在一本摊开的书上,食指指向书中的某一段落,一般认为这本书就是他的杰作《算术、几何、比与比例集成》(Summa de arithmetica,geometria,proportioni et proportionalita),此书乃是题献给盖多巴尔多的。

  铺着绿色台布的桌面上摆放着一些文具,从左到右依次为:海绵、矩尺、笔和墨水瓶、筒状文具盒、粉笔、圆规以及写着据悉是画家名字、作画地点与时间(IACO.BAR.VIGENNIS.P.1495)的小纸片;最右端则是一个方盒状的东西,其中可以辨认出LVC三个字母,有人说代表帕乔利名字的缩写“卢卡”。

  《帕乔利肖像》这幅画左上方悬着一个类似球状的水晶体,其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成,数学学名rhombicuboctahedron,可译作小斜方截半立方体,更准确的表达应该是48等边半正多面体;与之相对,画面右下角那个方盒状物体的上面,有一个正12面体模型,其表面是12个全等的正五边形。正多面体在西方文化中有着特殊的意义,据说最早由毕达哥拉斯学派加以研究,其五角星形的会徽中蕴含着黄金分割关系,由此推断他们掌握正五边形的尺规作图法,而正12面体及其对偶正20面体也都与正五边形有关。

  罗马作家普罗克鲁斯(Proclus,412—485)说,毕达哥拉斯(Pythagoras,c.570BC—495BC)学派已经研究过正多面体,但是在欧几里得(Euclid,c.330BC—275BC)《几何原本》的一个早期版本中,注释者提到毕达哥拉斯学派仅仅知道正方体、正四面体和正12面体。著名的荷兰代数学家范德瓦尔登(Van der Waerden,1903—1996)写过一本关于西方科学萌芽的书《科学觉醒》,内中提到考古学家曾在意大利帕多瓦附近发掘出一个滑石制成的正12面体模型,其年代早于公元前500年,时间和地点都与毕达哥拉斯学派活动的轨迹相近。本人既未亲睹实物,也无法找到清晰的图像,总的来说,对此说法深感兴趣却又心存怀疑。

  蒂迈欧(Timaeus of Locri,ca.420BC—380BC)据信是毕达哥拉斯学派晚期的一个代表人物,其著作《宇宙之灵》(On the Soul of the Universe)久已亡佚,但部分内容被柏拉图(Plato,c.427BC—347BC)的《蒂迈欧篇》(Timaeus)保存。在这部以对话形式写成的伟大著作中,柏拉图借蒂迈欧之口,提到由两种基本的直角三角形可以构成四种正多面体并与组成世界的四大元素相对应:正四面体对应火,正六面体对应土,正八面体对应气,正20面体对应水;同时还将不同的物理属性赋予这些立体以解说万物的生成与变化。书中也提到“第五个立体,造物主用其代表作为一个整体的宇宙的形状(to represent the shape of the Universe as a whole)”,但是没有描述它的构成;有的注释者则将同一句话译成“神用它来界定宇宙(that which God used in the delineation of the universe)”。后来亚里士多德(Aristotle,384BC—322BC)创造了一个对应正12面体的神性元素“以太”(aether),称其为组成星空及星体的物质,至此五种正多面体都有了对应的元素;而“以太”在现代物理观念的演进过程中发挥了甚为关键的作用,那是后话。

  据说柏拉图学派的泰阿泰德(Theaetetus,c.417 BC—369 BC)最早给出五种正多面体的数学描述并证明只有五种凸的正多面体,后者正是欧几里得《几何原本》最后一个命题(卷13命题18)的推论。有一种有趣的说法称,欧几里得写作的终极目标就是为柏拉图的宇宙观提供一个可靠的数学基础,尽管严肃的古希腊数学史家对此不加认可,我还是喜欢透了这一说法,遗憾的是至今想不起是在哪里读到过的,抑或自己某日半睡半醒时脑瓜中冒出来的古怪念头。

  在西班牙超现实主义画家达利的作品《最后晚餐的圣礼》(The Sacrament of the Last Supper)中,神情庄严的耶稣正向弟子们宣示天机,石块砌成的台面上有代表圣餐的面包和红酒,11个忠诚的门徒低垂下头倾听着,出卖耶稣的犹大不在其中。值得注意的是,耶稣的上方浮现出一个巨人的上身,而整个画面处于一个正12面体的厅堂内,象征上帝正要召唤自己心爱的儿子升往天堂。

  由两种或两种以上正多边形为表面构成的规则凸多面体称为半正多面体,根据三世纪希腊学者帕普士(Pappus,c.290—350)的记载,阿基米德(Archimedes,287BC—212BC)曾研究过全部13种半正多面体,所以它们也被称作“阿基米德体”(Archimedean solids)。中国清代数学家梅文鼎在《几何补编》(1692)中介绍了两种半正多面体,其中的“方灯”是24等边体,通过正六(或八)面体各棱的中点作切割而成;“圆灯”是60等边体,通过正12(或20)面体各棱的中点作切割而成。他的友人孔林宗在注记中说借助正六(或八)面体可以构造出一个48等边体,这就是德巴巴里画中那个悬挂着的水晶体模型。

  帕乔利生于托斯卡纳的桑塞珀尔克罗(Sansepolcro),这个小镇在佛罗伦萨市东南约80公里,文艺复兴时代的另一位艺术大师兼数学家弗兰切斯卡(Piero della Francesca,c.1415—1492)也诞生于此。关于帕乔利的教育背景与知识来源人们所知甚微,推测他曾向弗兰切斯卡学习几何与透视原理是有道理的。还有人认为弗兰切斯卡为乌尔比诺公爵所作的祭坛画(Montefeltro Altarpiece)中,圣母右边方济各(Francis of Assisi,1182—1226)的形象就是年轻的帕乔利。

  这幅画又名《圣母子与诸圣人》(Madonna and Child Enthroned with Angels and Saints),是弗兰切斯卡最受称赞的作品之一。画面中身着甲胄下跪的骑士就是第二代乌尔比诺公爵、也就是盖多巴尔多的父亲斐迪利哥(Federico da Montefeltro,1422—1482),他们父子都以保护和赞助艺术闻名。位居画面中央的是圣母玛利亚和圣婴耶稣,紧挨着圣母的四个年轻女性是天使,在她们两边站着一些有名的圣徒,其中右数第三人穿着灰色僧袍,一只手扯开胸前右肋部的破洞露出“圣痕”,这显然就是圣方济各。这一形象的外观年龄与作画时的帕乔利相符合,与德巴巴里绘制的肖像也有几分相似,只不过后者是50岁时的形象,前者还不到30岁而已。

  年轻时帕乔利曾受雇于一位富有的威尼斯商人,给他的三个儿子当家庭教师。威尼斯是当时商业最繁华的城市,帕乔利关于商业簿记的知识大概就与这段私教经历有关。1470年他加入了方济各会,因此两年多以后被年长的老乡弗兰切斯卡当作模特儿是可能的。在研修神学的同时,帕乔利开始在意大利各地旅行和讲授数学,先后在佩鲁贾、那不勒斯、罗马、波伦亚、威尼斯等地任教,还以修士的身份在佛罗伦萨及多处布道施教,亦曾担任过地区教长。当然他主要还是乌尔比诺公爵府上的贵客,年轻的盖多巴尔多曾向他学习数学。

  上面提到,帕乔利最有名的著作《算术、几何、比与比例集成》(下称《集成》)就是题献给盖多巴尔多的。《集成》大概是除了《几何原本》第一个印刷本(1482)以外最早印刷出版的数学作品,初刊于1494年。它与斐波那契的《计算之书》(Liber Abaci,1202)、卡尔达诺的《大术》(Ars Magna,1545)并称文艺复兴时代的三大数学名篇,前两者还代表了当时流行的一种被称为“算盘师”(abacist)的数学传统。《集成》用意大利文写成,全书600多页分为10章,是一部综合性的数学百科全书,内容包括实用算术、代数基础、更加规范的印度—阿拉伯记数法、以印刷形式给出手指记数的图示、以词语缩写或首字母形式表示的数学符号、欧几里得几何学概述、高次方程求解问题以及商业算术,几乎包括了当时算术、代数和三角学中的所有知识。

  该书第九章即所谓的商业算术,共计150页,具体内容包括意大利各地使用的币值、重量单位和度量表、易物贸易、汇票交易以及最重要的——复式簿记(double-entry bookkeeping)方法。《集成》被认为是现代会计制度的开山之作,帕乔利也被视为会计学和企业管理的鼻祖。早在14世纪中叶复式簿记的雏形就出现在热那亚,后来流传到商业中心威尼斯,被称为“威尼斯记账法”。帕乔利的贡献是对这一已经流行的簿记知识加以系统整理,他在书中明确区分了日账(journals)与分类账(ledgers),提出著名的会计恒等式E=A–L(净值=资产-负债),还归纳出成功经营的三宝:充足的现金或信用,优秀的会计师以及出入平衡的记账制度。他的名言包括“在支出(debits)与收入(credits)账面不能相等时一个商人绝不能上床睡觉”,“交换就是为了获得更多的利润而用一种物品换取另一种物品”——今日看来平淡无奇,却成了商业活动与资本积累的金科玉律。他认为算术是确保公平和利润的强大工具,因为不同类型的商品(goods)必须转换为具有同一价值标准的量化指标,也就是货币(money),所以一切商业活动都不过是以货币为符号的算术运算。复式簿记被誉为“人类智慧的绝妙创造之一”,有人甚至夸张地说“倘若没有复式簿记,就没有资本主义的出现”。到此,我确信已经大致揣摩到斯特洛伊克青睐《帕乔利肖像》的原因,他到临终都宣称自己是一位马克思主义者。

  关于复式簿记,还有一个更具挑战性的观点,那就是将这种把商品还原为可量化货币的实用方法以及在商业活动中追求精确收支平衡的原则,与大自然的数学化这一伟大历史进程加以类比,从而在复式簿记与近代科学的兴起之间建立一定的联系。这真是一个好故事,就像盖森(Boris Gesssen,1893—1936)关于牛顿力学之社会起源的论文一样,你可以相信它,可以质疑它,也可以完全无视它,但它至少触及复杂历史过程中的部分真相——最好的回应是结合其他同样美妙的故事,充实它与完善它。

  帕乔利的故事还没有结束。1497年,一个新的主顾找上门来,那就是权倾一时的米兰大公、斯福尔扎家族的卢多维科(Ludovico Sforza,1452—1508)。这个雇佣军出身的家族权势有多大,用一件事就可以说明——佛罗伦萨最显赫的美第奇家族的大当家洛伦佐(Lorenzo deMedici,1449—1492)为了向其示好,1482年特派精通音乐的达·芬奇,带着作为礼物的竖琴前往米兰觐见卢多维科。随后达·芬奇就被斯福尔扎家族罗致门下。帕乔利到来的时候,这位艺术大师正在为当时属于这个家族的圣玛丽慈悲修道院绘制《最后的晚餐》。正是在卢多维科的米兰宫廷里,帕乔利结识了达·芬奇并向他讲解数学;作为回报,后者为他的《神圣比例》制作了六十多幅版画插图。两位杰出学者在米兰的因缘际会为科学与艺术联姻作了最好的注解,直到1499年法王路易十二率军侵入米兰驱逐卢多维科,他们俩的直接联系才告终结。

  《神圣比例》(Divina proportione)写成于1496年至1498年之间,1509年在威尼斯正式出版。此书分为三部分:第一部分主要介绍黄金分割的性质及其在艺术中的应用;第二部分讨论罗马建筑师维特鲁维的《建筑十书》,特别是人体比例与人工建筑的关系;第三部分是弗兰切斯卡《论五种正多面体》(De quinque corporibus regularibus)的意大利文译本,为此帕乔利曾遭到剽窃的指责。该书还有两个附录:附录一是帕乔利自己为23个拉丁大写字母设计的“建筑体”(Architectural letter)图样;附录二是达·芬奇为帕乔利绘制的版画。他的设计很受后代书商和艺术装潢家们青睐,纽约大都会艺术博物馆的馆徽就是帕乔利设计的大写M。

  帕乔利还有一些其他作品。他翻译过欧几里得的《几何原本》,其拉丁文译本于1509年出版。波伦亚大学图书馆中保存着他的一份长达300多页的数学遗稿,内容涉及数学游戏和相关的诗句、谚语等。梵蒂冈图书馆里则收藏了一部厚达600多页的手稿(Ms.Vatican Library,Lat.3129),那是他在佩鲁贾大学教授数学的讲义。2006年,他的一部有关象棋的遗稿(De ludo scacchorum)被人发现了,两年后在其家乡桑塞珀尔克罗出版。

  本文的参考文献中有一本题为Double Entry的书,这个词既代表复式簿记,又暗示了帕乔利作为教士与学者的双重身份。本文则愿意引入Treble Entry这一说法来收尾,借以说明隐藏在《帕乔利肖像》背后的三种位相:数学、上帝与资本,或者说得更宽泛一些——科学、宗教与社会。

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