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从魔环到魔瓶如何抵达四维世界?欧拉定理开宗立派的拓扑传说

归档日期:05-02       文本归类:多面体模型      文章编辑:爱尚语录

  多面体欧拉定理,你是在初中时就认识它了。它是指对于简单多面体,简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系有著名的欧拉公式(又一个欧拉公式,这个可以称作欧拉第二公式)。

  例如,长方体顶点为8个,边为12个,面为6个,它的欧拉公式为 8 - 12 + 6 = 2

  在欧拉公式中,令 f(p)=V+F-E,f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们,简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

  据说这个公式本来最早由法国数学家笛卡儿在1635年左右就证明了,只是,除了笛卡尔自己,根本没人知道,一直到1860年,笛卡儿的工作才被发现。

  而欧拉于1750年独立证明了这个公式,此后该公式也被称为欧拉-笛卡儿公式。

  根据多面体的欧拉定理,可以得出这样一个有趣的事实:只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

  多面体欧拉定理是一个重要数学分支—拓扑学的基础,而欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。

  拓扑学(topology)是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。

  哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史中的重要问题。

  在欧拉之后,许多数学家加入到拓扑学的研究领域,19世纪下半叶,德国数学家黎曼和法国数学家庞加莱开始了现代拓扑学的系统研究,并奠定了这门数学分支的根基。

  拓扑学中的奇妙曲面有莫比乌斯带和克莱因瓶,是科幻的喜爱题材,莫比乌斯带是只有一面的魔环,它可以嵌入到三维或更高维的欧几里得空间,克莱因瓶则能嵌入到于四维或更高维空间。

  如果你搞明白了莫比乌斯带,那么恭喜你,你至少拥有了对抗一些毒鸡汤的能力,比如你至少会读懂这篇冷笑话: 青年向禅师讨教,希望可以让他的女朋友没有缺点,只有优点。禅师微笑着,请青年为他找一张只有正面没有背面的纸。然后青年掏出了一个莫比乌斯环……

  关于克莱因瓶,可以这样设想,在我们的三维空间中,我们不可能不打破蛋壳的而取出蛋黄,但在四维空间里却可以做到。

  克莱因瓶是一个不可定向的拓扑空间,它没有内外之分,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。

  克莱因瓶在三维空间中是不可能被制造出来,就像潘洛斯阶梯一样。是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果你在现实生活中能找到完美克莱因瓶,那恭喜你,你找到了虫洞,它穿过自己的那段就是一个“虫洞”。

  所以你在某宝上找到的克莱因瓶,都是降维打击后的产物,是四维物体的投影,表现得似乎是自己和自己相交一样。

  青年再问禅师:“我的头脑总是被繁杂的世俗所装满,要如何是好?”禅师说:“你画一个没有瓶口的瓶子。它总有一个尽头。你不把它里面的东西倒出来,怎么装新的进去?”青年若有所思,画了一个克莱因瓶。

  在现代科学里,拓扑学可以用来研究 DNA 的功能,研究社交媒体以及因特网,成长为20世纪最丰富多彩的一门数学分支。

  2016年诺贝尔物理学奖颁给三位英美科学家,获奖理由是“理论发现拓扑相变和拓扑相物质”。 三位物理学家采用拓扑学作为研究工具,这一举动在当时让同行很吃惊,但成果却也同样惊人。

  图论和拓扑学只是欧拉开创性贡献中的一小部分,那些认为欧拉没能在数学开宗立派的,据说文科生占多数。

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